永恒的数学
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抽象的

黎曼 zeta 函数有理数值与广义调和数之间的联系

PaweËœJ. 萨博沃夫斯基

使用级数的欧拉变换，我们将参数的整数值和有理值处的 Hurwitz zeta 函数 (s; t) 的值与某些快速收敛级数相关联，其中出现了一些广义调和数。本文的大部分结果都可以源自最近关于 Arakawa-Kaneko zeta 函数性质的更先进的结果。我们通过解决简单的递归问题直接得出结果。上述广义调和数的形式携带了有关 Hurwitz 函数自变量值的信息。我们特别证明： 8k 2 N : (k; 1) = (k) = 2 k1 2 k11 P1 n=1 H (k1) n n2n ; 其中 H (k) n 在广义调和数下定义，或者 K = P1 n=0 n!(H2n+1Hn=2) 2(2n+1)!! ; 其中 K 表示卡拉坦常数，Hn 表示 n 次（普通）谐波数。